Проценты

Для кого доступна система «Форсаж»?

Альтернативный метод вычислений

Представим один процент не десятичной, а простой дробью — 1/100. Аналогично можно записать любое количество процентов. Так, 10 % — это 0,1 или 1/10, 25 % — 0,25 или 25/100=1/4 и так далее. Следовательно, найти 10 % от числа довольно просто — нужно разделить исходное число на 10. Таким способом удобно вычислять 20, 25 и 50 процентов:

• 20 % — это 1/5, значит, нужно делить на 5 исходное число.
• 25 % — 1/4, нужно делить на 4.
• 50 % — это 1/2, просто делить на два.

Но не всякий процент удобно рассчитать таким методом. К примеру, 33 % — это 33/100, что при записи десятичной дробью дает 0,3333 с бесконечным количеством троек после запятой.

Если возникают сомнения в правильности проводимых расчетов, всегда можно проверить себя на калькуляторе, который сейчас есть в любом мобильном устройстве и на любом компьютере.

В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.

В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.

Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.

Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x
. Получим следующую конструкцию:

3200 — 100%
4000 — x
%

Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:

Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

8 · x
= 100 · 10;
8x
= 1000.

Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x
:

x
= 1000: 8 = 125

Итак, мы получили итоговый процент x
= 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.

На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:

∆ = 125 − 100 = 25

Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.

Post navigation

VII. Список литературы.

1. Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 5 класса средней школы. – М.: Просвещение, 2005.
2. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. Изучение процентов в основной школе //Математика в школе, 2002, №1.
3. Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 6 класса средней школы. – М.: Просвещение, 2005.
4. Белоусов Р.С. и др. Я познаю мир. Экономика. Энциклопедия. Москва ООО издательства АСТ, 2001 – 489с.
5. Липсиц И.В. Экономика М.: Вита – Пресс, 1996 – 352с.
6. Ресурсы интернет: ru.wikipedia.org
7. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления // Математика в школе, 2003 , №5.
8. Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты //Математика в школе, 1998, № 4.
9. Симонов А.С. Сложные проценты //Математика в школе, 1998, № 5.
10. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. – Москва: Дрофа, 2003г.
11. Гончарова Л.В. Предметные недели в школе. Математика. Волгоград: издательство “Учитель”, 2003г.

Работу выполнил:
Большаков Антон
Ученик 6 “А” класса

Научный руководитель:
Макарова Галина Сергеевна
Учитель математики

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
“Школа № 128”
Нижний Новгород
2016 г.

Презентация: http://static.livescience.ru/percents/presentation.pptx

Условия получения онлайн займов

Как посчитать проценты: примеры

Насколько число меньше другого в процентах

К примеру: обычная стоимость порошка – 500 рублей. По акции, цену снизили до 480 рублей. Насколько цена по акции, меньше первоначальной в процентах? Вначале находят процентную составляющую акционной цены от базовой, а затем находиться их разница. Составляем пропорцию:

Вычисляем по формуле: (480*100)/500=96. 100%-96%=4%. Цена по акции меньше первоначальной на 4%.

Насколько число больше другого в процентах. Пример: клавиатура стоила 300 рублей, а после повышения курса доллара, цена выросла до 390 рублей. Насколько изменилась цена на клавиатуру в процентах? Вначале находиться общая процентная ставка новой цены, относительно первоначальной, затем вычисляется их разница. Составляем пропорцию:

Вычисляем по формуле: (390*100)/300=130. 130%-100%=30%. Цена выросла на 30%.

Неизвестное число больше известного на определенный процент. Пример: товар в магазине, дороже товара на складе на 15%.  Цена сахара на складе – 50 рублей и приравнивается к 100%. Магазинная цена  – 100%+15%=115%. Вычисляем по формуле: (115*50)/100=57,5

Неизвестное число меньше известного на заданный процент. Пример: оптом на 5% дешевле. Цена за розницу – 60 рублей и равна 100 процентам, за опт – 100%-5%=95%. Составляем пропорцию:

Вычисляем по формуле: (60*95)/100=57

Процент между двумя числами. Ситуация, когда известно число, составляющее 100% и число, составляющее некую долю от первоначального. Пример: ожидалась партия в 60 коробок, а завезли 53. На сколько процентов выполнился план. Составляем пропорцию:

Вычисляем по формуле: (53*100)/60=88,3

Самая сложная «задача» — не запутаться в составлении пропорции.

Действия с процентами

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про действия с процентами, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
действия с процентами , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

В этом уроке разберем как складывать и вычитать проценты между собой.

Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами.

и процентов

Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа.

Примеры:

• 1% + 37% — 25% = 38% — 25% = 13%
• 70% — (42% + 3%) = 70% — 45% = 25%

В повседневной жизни полезно знать разные формы одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100% . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Разберемся, почему это так.

Пусть x — это 100%.

Тогда, увеличив x в 2 раза, получим 2x.

Сравним полученные результаты.

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая, таким же образом, докажем, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза .

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.

Пусть x — 100%.

Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдем, во сколько раз уменьшилось x.

Вначале найдем, сколько процентов от x осталось.100% — 80% = 20% 20% осталось от x. Обозначим остаток x за y.

Составим пропорцию. По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

пропорция x и y» />

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и «разами», вы без труда сможете понимать о чем так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные.

Некоторые, наиболее употребимые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать о чем идет речь. Список таких фраз представлен ниже.

Значение фраз «увеличить и уменьшить на … процентов»

Увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

• на 100% → в 2 раза
• на 150% → в 2,5 раза
• на 200% → в 3 раза
• на 300% → в 4 раза

Уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

• на 75% → в 4 раза
• на 50% → в 2 раза
• на 25% → в ≈ 1,33 раза
• на 20% → в 1,25 раза

Расчет процентов по аннуитетной схеме

При аннуитетной схеме долг выплачивается в течение всего срока равными частями. Каждый платеж состоит из двух частей: одна погашает тело кредита, а вторая – проценты. В течения срока выплат доля процентов уменьшается, а доля тела – увеличивается.

Этот способ расчета использует большинство российских банков. Взносы по ней проще вычислить, так как здесь нужно знать только одну формулу. Но переплаты в таком случае часто больше, чем у долга, рассчитанного по дифференцированной схеме.

Посчитать аннуитетные платежи самому можно по такой формуле:

Платеж = сумма кредита × процентная ставка в месяц / 1-(1+процентная ставка в месяц)^-количество месяцев

Пример:

Анатолий Волков взял 50 000 рублей на три года. Ставка – 20% годовых.

Размер процентной ставки за месяц рассчитывается так:

\(\frac{20\%}{12}=\frac{0.2}{12}=0.016667\)

Далее рассчитаем размер ежемесячного платежа

\(\frac{50000*0.016667}{1-{ (1+0.016667) }^{-36}} = \frac{50000*0.016667}{1-0.55153} = \frac{833,35}{0.44847}=1858.2\) рублей

Общая сумма к выплате будет составлять:

1 859,2 × 36 = 66 895,44 рублей

Размер переплат – 16 895,44 рублей.

Формулы расчета

Раз есть сложный, значит, есть и простой процент. Несправедливо, если мы не разберем младшего брата нашего героя.

Простой процент

Простой процент каждый расчетный период (месяц, квартал, год) начисляется только на первоначальную сумму. Никакого эффекта “снежного кома” он не дает. Сумма увеличивается медленно.

Формула расчета:

S_N = S_П * (1 + % ст * N), где

• S_N – сумма в конце периода N;
• S_П – первоначальная сумма капитала;
• % ст – процентная ставка (доход);
• N – расчетный период.

Формула справедлива, если речь идет о начислении дохода раз в год. Например, положили на счет 100 000 ₽ под 10 % годовых на 10 лет. В конце срока получите: 100 000 * (1 + 0,1 * 10) = 200 000 ₽.

В реальной жизни понятие простого % применяется, например, в экономических расчетах по банковским вкладам без учета капитализации. В договоре обязательно указывается годовая процентная ставка. Проценты начисляются за каждый день нахождения денег на вкладе. А получать доход вкладчик может ежемесячно, ежеквартально или раз в год.

В этом случае формула примет вид:

S_N = S_П * (1 + % ст * Д / 365), где

Д – количество полных дней нахождения денег на депозите.

Например:

1. Положили на счет 100 000 ₽ под 10 % годовых на 91 день. В конце срока получите: 100 000 * (1 + 0,1 * 91 / 365) = 102 493,15 ₽.
2. На 180 дней: 100 000 * (1 + 0,1 * 180 / 365) = 104 931,51 ₽.
3. На 2 года (730 дней): 100 000 * (1 + 0,1 * 730 / 365) = 120 000 ₽.

Сложный процент с начислением дохода 1 раз в год

По методу сложных процентов при начислении дохода 1 раз в год будущая сумма определяется по формуле:

S_N = S_П * (1 + % ст)N

Пример. В банк положили 100 000 ₽ под 10 % годовых на 2 года. Будущая стоимость вклада составит: 100 000 * (1 + 0,1)2 = 121 000 ₽.

Сложный процент с начислением дохода чаще, чем 1 раз в год

Доход может начисляться ежемесячно, ежеквартально или 2 раза в год. Формула меняется:

S_N = S_N * (1 + % ст / К)N*К, где

К – частота начисления дохода (12, 4 или 2 раза в год).

Пример. В банк положили 100 000 ₽ под 10 % годовых на 2 года с ежемесячным начислением процентов. Будущая стоимость вклада составит: 100 000 * (1 + 0,1/12)24 = 122 039,1 ₽.

Как на калькуляторе посчитать проценты

Лайфхак для подсчета процентов

Британец Бен Стефенс поделился в своем Twitter простым математическим трюком, существенно упрощающим подсчет процентов без калькулятора. Его можно сформулировать так: «А процентов от В — это то же самое, что В процентов от А».

Вроде бы ничего особенного, но в некоторых случаях помогает и еще как. Например, попробуй быстро посчитать сколько будет 16 % от 25. А 25 % от 16? И в том, и в другом случае ответ 4, но справиться со вторым примером, согласись, куда проще.

«Имею диплом математика и никогда об этом не задумывался», — пишут под твитом Бена одни пользователи. «Попробуй так найти 63 % от 11», — ехидничают другие. Что же, способ Бена действительно лучше работает с числами кратными 0 или 5. А 63 % от 11 будем находить по старинке.

Как вычислить процент от числа

Первый способ. Умножь процент и число друг на друга, а затем раздели на 100.
63 % от 11
63х11/100 = 693/100 = 6,93

Второй способ. Раздели число на 100 и умножь на процент.
63 % от 11
11/100 = 0,11 0,11х63 = 6,93

Кстати, легко умножать в уме любые двузначные числа на 11 мы научились в статье о приемах устного счета.

А если вместо 63 % от 11 найти 11 % от 63? На мой взгляд, лайфхак Бена вполне применим и здесь.
63 % от 11 — это то же, что и 11 % от 63
11 % = (10+1) %
63/10 = 6,3
63/100 = 0,63
6,3+0,63 = 6,93

Как узнать процент скидки

Пачка стирального порошка стоила в магазине 400 рублей. Сегодня в магазине скидки и на ценнике стоит 372 рубля. Как определить размер скидки в процентах?

Тут нужно составить пропорцию. Примем цену без скидки за 100 %, а цену со скидкой за х %. Тогда будет справедливым следующее равенство:
400/372 = 100/х
отсюда х = 372х100/400 = 93 %
Соответственно скидка составляет 7 %.

Узнаем процент с помощью калькулятора

Чтобы узнать процент от числа, введи число, знак умножения, затем нужный процент и знак %. Для задачи с порошком 7 % от 400 находим так: 400 × 7 %

Если нужно узнать цену после скидки, набери на калькуляторе: 400 — 7 %.

Небольшая подсказка: чтобы долго не искать калькулятор в меню смартфона, воспользуйся адресной строкой браузера (подойдет как «Яндекс», так и Google).

Как вычислить сложный процент с помощью онлайн-сервиса

Не все проценты можно посчитать, даже вооружившись нашей инструкцией.

Проценты по вкладам, доходность инвестиций, переплата по ипотеке — всё это проще вычислить, воспользовавшись удобными онлайн-сервисами.

Так, кредитный калькулятор в одно нажатие кнопки позволит рассчитать стоимость кредита, ежемесячные платежи погашения займа, полную сумму переплаты. А калькулятор сложных процентов поможет с начислением сложных процентов в банковском депозите (когда по окончании каждого периода начисленные проценты становятся основной суммой).

Яркие ценники, сигнализирующие о скидках, способны привлечь каждого. Но нужно быть бдительным. Ведь за пестрой россыпью процентов со знаком минус ушлые маркетологи иногда умудряются сбыть нам товар даже по более высоким ценам, чем до распродажи. А не попасться в их ловушки, сохранить деньги и сделать жизнь чуточку проще тебе, надеюсь, позволят наши полезные советы.

От чего зависит?

Исходя из представленной ниже таблицы уклон связан не только с диаметром изделий и метражом канализации, но и с особыми условиями.

диаметр трубы, см	уклон на метраж	уклон при особом условии
15	0,008	0,007
20	0,007	0,005

Под особыми условиями, в которых может монтироваться уклон, понимаются такие факторы, как:

• материал изделий;
• способ расположения водоотвода;
• пропускное свойство трубы.

Качество трубы пропускать через себя жидкость тесно связано с материалом ее изготовления и размером. Обозначения этого свойства не найти на маркировке, поэтому его придется рассчитывать самостоятельно.

Сложность расчетов заключается в том, что для каждого отдельного случая нужно применять собственную подходящую методику. Важный параметр, используемый в расчетах – наружный размер трубы. В формулах он может обозначаться латинской или русской аббревиатурой «Дн» или «Dn».

Существует таблица с приближенными сведениями, которая облегчит задачу определения пропускной способности систем. Высокоточные расчеты в большинстве случаев обустройства домашней канализации зачастую и не требуются. Значения для трубопроводной магистрали, равные 1,5-3,0 м/сек, можно использовать без опаски нарушения нормативов. В таблицу также включены сведения о других типах газо-, водопроводов.

Пропускная способность канализации тесно связана с типом монтируемого трубопровода. Магистраль может быть напорной или безнапорной. Стандартные расчетные формулы включают законы гидравлики.

В гидравлических формулах учитываются следующие неизвестные:

• диаметр магистрали;
• средняя скорость потока;
• гидравлический уклон;
• уровень наполнения.

На деле зачастую достаточно знать гидравлический уклон I или h/d. Первый показатель правильно считать идентичным уклону основания.

Значения скорости для бытовых водоотводов можно изучить по таблице ниже:

Ду, см	h/ Ду	самоочищающая скорость, м/с
15-25	0,6	0,7
30-40	0,7	0,8
45-50	0,75	0,9
60-80	0,75	0,1
90	0,8	1,15

Показатель наименьшего уклона для канализации небольшого размера i=0,008, 0,007. Нужные показатели пропускной способности различных изделий от 5 до 200 см есть в специальных профессиональных таблицах. Показатели напрямую связаны с максимальной загруженностью сети, а также средней скоростью движения стоков. Величина, демонстрирующая максимальную загруженность трубы, измеряется показателем H/d.

Например, в таблице h/D – загруженность трубы;

• V – скорость стока;
• Q – расход.

Выбор системы нужного типа основывается на технической целесообразности и санитарных условиях. Принятая за основу система должна соответствовать всем требованиям и технологиям.

Что такое процент

Одним из базовых понятий математики является процент. Для того чтобы понять, что такое процент, достаточно разделить заданную целую величину на сто. Одна сотая часть будет одним процентом (обозначается 1%). Как в точных и экономических науках, так и в других сферах жизни проценты используются для обозначения долей по отношению к целому. При этом само целое обозначается как 100%. В некоторых случаях используется при сравнении двух величин: например, иногда стоимость товаров не сравнивается в денежных единицах, а оценивается, на сколько % цена одного товара больше или меньше цены другого. Термин также получил широкое распространение в банковском деле и в большинстве случаев используется в качестве синонима словосочетания «процентная ставка».

Существует обратное правило нахождения числа по его проценту. Для того чтобы получить результат по такой математической операции (второму из трёх базовых типов задач на процентные вычисления) необходимо указанное в условиях число разделить на заданную процентную величину, после чего полученный результат умножить на 100. При этом первым действием вычисляется количество единиц исходной величины в 1%, а вторым – в целом (то есть в 100%). Если количество % превышает 100, то полученный результат всегда будет меньше числового значения, заданного условиями задачи – и наоборот.

На что способен калькулятор расчета процентов

Уни­вер­саль­ный каль­ку­ля­тор про­цен­тов (КП) поз­во­ля­ет определить:

• сколь­ко будет n% от чис­ла N;
• обрат­ная опе­ра­ция — сколь­ко % состав­ля­ет чис­ло N1 отно­си­тель­но чис­ла N2;
• что полу­чит­ся, если к чис­лу N при­ба­вить или вычесть из него n% (ины­ми сло­ва­ми: уве­ли­чить или умень­шить дан­ное чис­ло на задан­ное кол-во n%).

Дока­жем на при­ме­рах прак­ти­че­скую цен­ность калькулятора.

Примеры использования калькулятора процентов

КП мож­но применять:

• для рас­чё­та пере­пла­ты по кредиту;
• для опре­де­ле­ния при­бы­ли или вознаграждения;
• опре­де­ле­ния фак­ти­че­ско­го раз­ме­ра зара­бот­ной платы;
• рас­че­та цены без НДС и в дру­гих случаях.

Определение числа N1 по проценту от числа N2

Напри­мер, нуж­но под­счи­тать, сколь­ко нуж­но будет выпла­чи­вать в год бан­ку за кре­дит 2700000 руб. по став­ке 11% годо­вых: для это­го в поле верх­ней стро­ки сле­ва встав­ля­ем циф­ру 11, спра­ва — 2700000. Резуль­тат будет 297000 руб.

Определение процентного отношения между двумя числами

За реа­ли­за­цию това­ра общей сто­и­мо­стью 300000 руб. посред­ник запро­сил 15000 руб. Сколь­ко это будет в %? Исполь­зу­ем вто­рую стро­ку каль­ку­ля­то­ра, вста­вив в поля соот­вет­ствен­но 15000 и 300000. Полу­ча­ем 5%. Цен­ная инфор­ма­ция. Если услу­га пока­жет­ся слиш­ком доро­гой, ищем дру­гих посред­ни­ков, рабо­та­ю­щих с более низ­ким тарифом.

Как определить стоимость услуг риэлтора в процентах

Ана­ло­гич­но мож­но рас­счи­тать, какое комис­си­он­ное воз­на­граж­де­ние берет риэл­тор: допу­стим, посред­ник помог купить квар­ти­ру сто­и­мо­стью 3 млн. руб., запро­сив за свои услу­ги 75000 руб. Встав­ля­ем во вто­рую стро­ку КП оба зна­че­ния, как в преды­ду­щем при­ме­ре. Счи­ты­ва­ем резуль­тат — 2,5%.

Но если услу­га жилищ­но­го бро­ке­ра ука­за­на в про­цент­ной доле от сто­и­мо­сти жилья, то для рас­чё­та комис­си­он­но­го воз­на­граж­де­ния в руб­лях под­став­ля­ем в первую строч­ку КП % и сто­и­мость недвижимости.

Как сложить число с процентами

При­ве­дён­ные выше при­ме­ры нетруд­но решить при помо­щи обыч­но­го калькулятора:

• для рас­чё­та чис­ла N1 про­цент­ную долю (n%/100) нуж­но умно­жить на чис­ло N2;
• для опре­де­ле­ния про­цент­но­го отно­ше­ния двух чисел делим пер­вое на вто­рое и умно­жа­ем резуль­тат на 100%.

Но при сло­же­нии или вычи­та­нии двух чисел, одно из кото­рых пред­став­ля­ет из себя про­цент­ную долю от дру­го­го N, про­ще вос­поль­зо­вать­ся каль­ку­ля­то­ром процентов.

Напри­мер, бух­гал­тер дол­жен посчи­тать, како­ва долж­на быть зар­пла­та сотруд­ни­ка, что­бы после выче­та НДФЛ он полу­чал чисты­ми 25000 руб.:

• Необ­хо­ди­мо при­ба­вить 13% (левое поле тре­тьей стро­ки) к 25000 (пра­вое поле).
• Полу­чит­ся, что по ведо­мо­сти зар­пла­та работ­ни­ка долж­на состав­лять 28250 руб.

Вычитание процентов из числа

Неред­ко работ­ник заклю­ча­ет дого­вор с рабо­то­да­те­лем, ого­ва­ри­вая зар­пла­ту без выче­та НДФЛ.

• Что­бы узнать, сколь­ко денег будет выпла­че­но на руки, необ­хо­ди­мо в пер­вое поле чет­вёр­той стро­ки КП вста­вить 13%, а во вто­рое — раз­мер зар­пла­ты по ведо­мо­сти (напри­мер, 30000 руб).
• Полу­чит­ся, что чисты­ми будет выда­но 26100 руб.

Цена товара без НДС

• Вы жела­е­те знать, сколь­ко сто­ит на самом деле товар, куп­лен­ный в мага­зине за 2000 руб? Вос­поль­зу­ем­ся чет­вер­той стро­кой каль­ку­ля­то­ром, вычи­тая 20% нало­га на добав­лен­ную сто­и­мость из 2000 руб. уста­нов­лен­ные с нача­ла это­го года. Полу­ча­ем 1600 руб.
• Но если про­из­во­ди­тель хочет вклю­чить НДС в цену това­ра, то есть при­ба­вить к цене 20%, то ему сле­ду­ет наобо­рот при­ба­вить 20 % к про­из­вод­ствен­ной цене, вос­поль­зо­вав­шись тре­тьей стро­кой КП.

Таким обра­зом каль­ку­ля­тор про­цен­тов и впрямь мож­но исполь­зо­вать в раз­ных жиз­нен­ных ситуациях.

Каль­ку­ля­тор процентов

Сколь­ко составляет

% от числа

Сколь­ко % состав­ля­ет число

от чис­ла

При­ба­вить

% к числу

Вычесть

% из числа

Происхождение

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. Например, Октавиан Август взимал налог в размере 1/100 на товары, реализовавшиеся на аукционе, это было известно как лат. centesima rerum venalium (сотая доля продаваемых вещей). Подобные расчёты были похожи на вычисление процентов.

При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх[неизвестный термин]. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек[источник не указан 1412 дней].

Типы задач на проценты

В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

Тип 1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?

Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).

20% = 0,2

500 * 0,2 = 100

Из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.

Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

Задача. Школьник решил 38 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 38 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

38/0,16 = 38 * 100/16 = 237,5

Значит 237 задачи включили в этот сборник.

Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Как решаем: возьмем алгоритм из правила выше:

10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 47%

В классе учится 10 девочек — это 47%.

Тип 4. Увеличение числа на процент

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

Формула расчета процента от числа выглядит так:

a = b * ((1 + c) / 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом месяце стикер-пак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

110 * (1 + 12/100) = 110 * 1,12 = 123,2.

Стоимость стикер-пака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

Тип 5. Уменьшение числа на процент

Чтобы уменьшить число на несколько процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

Формула расчета выглядит так:

a = b * ((1 — c) / 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

100 * (1 – 25/100) = 75

75 выпускников закончат школу в этом году.

Тип 6. Задачи на простые проценты

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

Формула расчета выглядит так:

S = а * ((1 + у * х)/ 100),

где a — исходная сумма,

S — сумма, которая наращивается,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей, чтобы купить тебе что-то классное. Кредит на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они внесут через год?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000

Родители через год внесут в банк 14000 рублей.

Тип 7. Задачи на сложные проценты

Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

Формула расчета выглядит так:

S = а * ((1 + х)/100)y,

где S — наращиваемая сумма,

a — исходная,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 — искомая сумма.

Способы нахождения процента

Универсальная формула для решения задач на проценты:

A * b = C, где A — исходное число, b — проценты, переведенные в десятичную дробь, C — новое число.

Чтобы применить алгоритм, нужно прочитать задачу, отметить, какие два числа нам известны и найти третье.

Есть еще четыре способа поиска процентов. Рассмотрим каждый из них.

Пропорция

Нередки случаи, когда необходимо решить задачи на проценты, используя пропорцию. На самом деле этот метод нахождения результата в значительной мере облегчает задачу учащимся, преподавателям и не только.

Итак, что такое пропорция? Под этим термином понимается равенство двух отношений, которые можно выразить следующим образом: А/_В = С/_D.

В учебниках математики значится такое правило: произведение крайних членов равняется произведению средних. Это выражается следующей формулой: А х D = В х С.

Благодаря этой формулировке, можно вычислить любое число, если три других члена пропорции известны. К примеру, А – неизвестное число. Чтобы его найти, нужно

При решении задач методом пропорции необходимо понимать, от какого числа брать проценты. Бывают случаи, когда доли нужно взять от разных величин. Сравните:

1. После окончания распродажи в магазине стоимость футболки возросла на 25% и составила 200 рублей. Какова была стоимость во время распродажи.

Решение:

В данном случае нужно величина 200 рублей соответствует 125% от первоначальной (распродажной) цены футболки. Тогда, чтобы узнать ее стоимость во время распродажи, нужно (200 х 100) : 125. Получится 160 рублей.

2. На планете Виценция 200 000 жителей: люди и представители гуманоидной расы Наави. Наави составляют 80% от всего населения Виценции. Из людей 40% заняты обслуживанием рудника, остальные добывают тетаниум. Сколько людей добывают тетаниум?

Решение:

В первую очередь нужно найти в численном виде количество людей и количество Наави. Так, 80% от 200 000 будет равняться 160 000. Столько представителей гуманоидной расы проживает на Виценции. Количество людей, соответственно, равняется 40 000. Из них 40%, то есть 16 000, обслуживают рудник. Значит, 24 000 людей занимаются добычей тетаниума.

Общая формула расчета процентов по вкладу

Использование формулы простых процентов целесообразно в случае начисления процентов в конце срока размещения депозита или если они будут переводиться на отдельный счет – если капитализация договором не предусмотрена.

Если средства размещаются на длительный срок и сумма большая, банк использует формулу простых процентов: сумма дохода с процентов занижается.

В этом случае используется формула следующего вида:

S = (P x I x t / K) / 100

Обозначения:

S – конечная сумма, полученная по завершению действия депозита;

P – сумма изначально внесенная на депозит;

I – размер % ставки (за год);

t – кол-во дней начисления %;

K – кол-во дней за год по календарю.

Для расчета сложных процентов, которые применяются в случае капитализации в течение всего периода действия депозитного договора (каждый месяц, раз в квартал, ежедневно), нужно применить следующую формулу:

S = (P x I x j / K) / 100

Эти символы имеют следующее значение:

I – % ставка за год;

J – сумма дней по календарю за конкретный период, на протяжении которого финансовое учреждение капитализирует проценты, начисляемые по выбранному виду вклада;

К – количество дней в году по календарю;

P – изначально привлеченная сумма для размещения на вкладе, в дальнейшем это будет сумма, в которую уже учитываются капитализированные процентные начисления;

S – сумма, которая должна быть выплачена клиенту финучреждения, в ней уже учтены капитализированные %.

Происхождение

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. Например, Октавиан Август взимал налог в размере 1/100 на товары, реализовавшиеся на аукционе, это было известно как лат. centesima rerum venalium (сотая доля продаваемых вещей). Подобные расчёты были похожи на вычисление процентов.

При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в . В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек[источник не указан 2183 дня].